Bu yazımda $F_1=F_2=1$ ve $\forall n\in \mathbb{N}$ için $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ rekürans bağıntısı ile tanımlı $F_n=\{1,1,2,3,5,8,13,…\}$ Fibonacci dizisinin sağladığı $F_{2n}={F_n}^2.+2.F_n.F_{n-1}$ ve $F_{2n-1}={F_n}^2+{F_{n-1}}^2$ eşitliklerini Binet formülünü kullanmadan elde edeceğim. (Burada $F_n$ ifadesi Fibonacci dizisinin $n$. terimini temsil ediyor, örneğin $F_4=3$, $F_1=F_2=1$)

Öncelikle aşağıdaki önermenin her zaman doğru olmadığına dikkat edelim:

$a,b,c,d,x \in \mathbb{R}$ için $ax+b=cx+d$ ise $a=c$ ve $b=d$ olur.

Bu yanlıştır, örneğin $2.5+7=3.5+2$ iken $2=3$ veya $7=2$ değildir, fakat bu önerme şu şekilde düzenlenirse doğru olur:

$a,b,c,d \in \mathbb{Q}$ ve $x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ ($x$ irrasyonel) için $ax+b=cx+d$ ise $a=c$ ve $b=d$ olur.

Bunu hızlıca kanıtlayalım, diyelim ki $a\neq c$ olsun, o halde $ax+b=cx+d$ eşitliğinde $(a-c).x=d-b$ ve $a \neq c$ olduğundan $x=\frac{d-b}{a-c}$ bulunur ki burada $a,b,c,d \in \mathbb{Q}$ oluşundan $x\in \mathbb{Q}$ çelişkisine ulaşılır. O halde $a=c$ olmalıdır. Şimdiyse $a=c$ oluşundan $ax+b=cx+d$ ifadesi $ax+b=ax+d$ oluşunu ve bu da $b=d$ oluşunu getirir.

Şimdi Fibonacci dizisiyle ilgili olan kısma geçelim. Öncelikle aşağıdaki ikinci dereceden denklemi düşünelim.

$x^2=x+1$

Bu denklemin bir kökü $x=t$ olsun yani $t^2=t+1$ olsun. Şimdi bu ifadeyi $t$ ile çarparsak:

$t^3=t^2+t$ elde edilir fakat burada $t^2=t+1$ olduğundan bu aslında $t^3=2t+1$ demektir. Şimdi bu son eşitliği $t$ ile çarparsak $t^4=2t^2+t$ ve yine $t^2=t+1$ yerine yazılarak $t^4=3t+2$ bulunur. Esasında burada $n \in \mathbb{N}$ ve $x^2=x+1$ olmak üzere:

$x^n=F_n.x+F_{n-1}$

eşitliğinin sağlandığını görürüz (Bunu tümevarım ile kolaylıkla kanıtlayabilirsiniz). Şimdi bu eşitliği kullanarak $F_{2n}={F_n}^2+2F_n.F_{n-1}$ olduğunu gösterelim.

İlk olarak aşikar olanı yapalım ve $x^n=F_n.x+F_{n-1}$ ifadesinde iki tarafın da karesini alalım. Bu durumda

$x^{2n}={F_n}^2.x^2+2.F_n.F_{n-1}x+{F_{n-1}}^2$

eşitliği elde edilir ve bu eşitlikte $x^2=x+1$ yerine yazılırsa:

$x^{2n}={F_n}^2.(x+1)+2.F_n.F_{n-1}.x+{F_{n-1}}^2$
$x^{2n}=({F_n}^2+2.F_n.F_{n-1}).x+{F_n}^2+{F_{n-1}}^2$

Eşitliği elde edilir, diğer taraftan $x^n=F_n.x+F_{n-1}$ ifadesinde basitçe $n$ yerine $2n$ yazılırsa:

$x^{2n}=F_{2n}.x+F_{2n-1}$

elde edilir ve bu eşitlik $x^{2n}=({F_n}^2+2.F_n.F_{n-1}).x+{F_n}^2+{F_{n-1}}^2$ oluşundan:

$({F_n}^2+2.F_n.F_{n-1}).x+{F_n}^2+{F_{n-1}}^2=F_{2n}.x+F_{2n-1}$

oluşunu getirir. Şimdi $x^2=x+1$ denkleminin her iki kökü de irrasyoneldir ve Fibonacci dizisinin elemanları rasyonel sayılar olduklarından bu eşitlikteki tüm katsayılar rasyoneldirler ve bu yazının en başında kanıtladığımız eşitlikten dolayı katsayılar karşılıklı eşit olmalıdır. Buradan:

$F_{2n}={F_n}^2+2.F_n.F_{n-1}$

$F_{2n-1}={F_n}^2+{F_{n-1}}^2$

olarak istenilen elde edilir.