Fermat Sayıları ve Asal Sayıların Sonsuzluğu Üzerine Doğrudan Bir İspat
Bu yazımda $F_m$ ve $F_n$ iki farklı Fermat sayısı ise $\text{obeb}(F_m,F_n)=1$ olacağını ve buradan asal sayıların sonsuz tane olduklarını kanıtlayacağım.
Başlamadan önce Fermat sayısı deyince neyden bahsettiğimize netlik katalım, Fermat sayısı deyince $n$ bir doğal sayı olmak üzere:
$F_n=2^{2^n}+1$
biçimindeki doğal sayıları kastediyoruz. Buradan hemen görülür ki her Fermat sayısı tektir. Şimdi öncelikle herhangi iki farklı Fermat sayısının aralarında asal olduklarını gösterelim, başka bir deyişle aşağıdaki teoremi kanıtlayalım:
$m,n\in \mathbb{N}, 0\leq n<m$ olsun, o halde $(F_m,F_n)=1$ olur.
İspat: $d=\text{obeb}(F_m,F_n)$ olsun fakat $d\neq 1$ olsun o halde $p|d$ olacak şekilde bir $p$ asal sayısı vardır. Fermat sayıları tek olduklarından $d$ çift olamaz yani $p\neq 2$ dir. Şimdi bu bilgi ışığında minik bir yeniden isimlendirme yapalım. $2^m=a$ ve $2^n=b$ diyelim, o halde $0\leq n<m$ oluşundan $1 \leq b < a$ olur. Madem ki $b<a$ o halde $a=b.2^{m-n}$ biçiminde yazmak anlamlı olur. Şimdi burada basitlik olması açısından $2^{m-n}=x$ olarak gösterelim, $x$ bir doğal sayıdır. Ayrıca bu yeni isimlendirmelerle $F_m=2^a+1$ ve $F_n=2^b+1$ olur.
Şimdi dikkat edersek $d$ ebob olduğundan $d|2^a+1$ ve $d|2^b+1$ olur ve $p|d$ olduğundan $p|2^a+1$ ve $p|2^b+1$ elde edilir. Eğer $p$ bu iki sayıyı da bölüyorsa onların farklarını da böler yani
$p|(2^a-2^b)$
olur. Burada basit bir çarpanlara ayırma ile
$p|(2^b)(2^{a-b}-1)$
yazabiliriz. $p$ asal olduğundan bu iki çarpandan en az birini bölmelidir ancak $p$ tekti yani $p$, $2^b$ çarpanını bölemez, o halde $p|2^{a-b}-1$ olmalı. Şimdi $p|2^b+1$ oluşuyla bunu bir kez daha beraber kullanırsak ve bu sefer $p$ nin bu iki sayının toplamını da böleceğini kullanırsak:
$p|2^{a-b}+2^b$
ve buradan yine çarpanlara ayırarak ve $p$ nin $2^b$ yi bölmeyeceğini kullanarak:
$p|2^{a-2b}+1$
elde ederiz. Bu bilgiyi tekrar $p|2^b+1$ oluşuyla kullanırsak bu sefer farklarını alırız ve bir sonraki adımda
$p|2^{a-3b}-1$
Elde ederiz ve bu şekilde devam edebiliriz. Dikkat edilirse $b$ nin katsayısı çift iken işaret $(+)$, tek iken işaret $(-)$ olmaktadır ve bu gerçekten böyle devam edecektir. Şimdi bu işlemin mantıklı olacağı son aşamaya gelelim, biz bu işlemi maksimum $x$ defa yapabiliriz keza $x$. defa olan işlemi yazarsak:
$p|2^{a-xb}\pm 1$
elde edeceğiz. Burada $x=2^{m-n}$ çift olduğundan ifadenin aslında tam olarak:
$p|2^{a-xb}+1$
olacağını görürüz. Ayrıca $a=bx$ olduğundan aslında bu ifade:
$p|2^{0}+1$
esasında $p|2$ dir. $p$ asal olduğundan $p=2$ olur ki bu $p$ nin tek oluşuyla çelişir! O halde $d$ nin bir asal böleni yoktur o halde $d=1$ dir!
Sonuç olarak herhangi iki farklı Fermat sayısı aralarında her zaman asaldır. Şimdi asal sayıların sonsuz olduğunu bundan faydalanarak hemen gösterebiliriz:
- Doğrudan İspat: $\{F_1,F_2,…,F_n\}$ gibi sonlu sayıda Fermat sayısından oluşan bir küme alalım. Bu kümedeki her bir Fermat sayısını bölen en az birer asal vardır ve herhangi iki Fermat sayısı aralarında asal olduklarından bu asallar birbirlerinden farklıdır. Buradan $n$ farklı asal sayı üretilir. $n$ nin bir üst sınırı olmadığından buradan sonsuz tane asal sayı üretilir.
- Çelişki ile İspat: Kabul edelim ki asal sayılar sonlu tane olsun ve bu asal sayıların sayısı $n$ olsun. Şimdi $\{F_1,F_2,…,F_n, F_{n+1}\}$ fermat sayıları kümesini düşünelim. Burada her Fermat sayısını bölen birer asal vardır ve Fermat sayıları aralarında asal oldukları için bu asallar birbirlerinden farklıdır. Sonuç olarak $n+1$ tane asal sayı elde edilir ki bu $n$ tane asal sayı oluşuyla hemen çelişir.