İdeal Teori: $I+J=R$ ise $IJ=I \cap J$ olur

Bu yazımızda aşağıdaki önermeyi kanıtlayacağız

Burada ispata herhangi bir getirisi olmasa da $I+J=R$ olacak şekilde $I$ ve $J$ ideallerine komaximal idealler dendiği bilgisini verelim

Başlayalım, öncelikle $IJ\subseteq I \cap J$ oluşu $R$ birimli değişmeli iken bu koşul olmasa da doğru olurdu nitekim $IJ$ içerisinden alacağımız keyfi bir $X$ elemanı $n\in\mathbb{N}$, $a_i\in I$ ve $b_i \in J$ olmak üzere

biçimindedir, burada görülmelidir ki $b_i$ ler için aynı zamanda $b_i\in R$ yazılabilir, şimdi burada $R$ değişmeli olduğundan $b_i$ ler soldaymış gibi düşünüldüğünde ve $a_i$ lerin $I$ idealinin elemanı oldukları farkedildiğinde toplamdaki her bir elemanın $I$ da ve ideallikten bu toplamın da $I$ da olacağı görülür, benzer şekilde $a_i \in R$ olarak düşünüldüğünde toplamın $J$ de olacağı da görülür, sonuç itibariyle toplamın sonucu ($X$ demiştik) hem $I$ da hem $J$ de olur ki bu $X \in I\cap J$ demektir.

Şimdi ispatın koşulu kullanarak yapacağımız kısmına geçelim yani $I \cap J \subseteq IJ$ olduğunu gösterelim, şimdi kabul edelim ki $I+J=R$ olsun, o halde öyle $a\in I$ ve öyle $b \in J$ vardır ki:

olur, şimdi $x\in I\cap J$ olsun yani $x\in I$ ve $x\in J$ olsun, yukarıdaki $a+b=1_R$ eşitliğini sağdan $x$ ile çarparsak $(a+b).x=1_R.x$ ki bu da:

olur, şimdi burada halka değişmeli olduğundan $bx=xb$ yazarsak:

olur ki burada $x\in I$ ve $x\in J$ olduğundan $ax$ kısmında $x\in J$ ve $xb$ kısmında $x\in I$ olarak düşünülürse $ax+bx$ in $IJ$ nin elemanlarının tarifine uyduğu görülür, yani $ax+bx=x \in IJ$ dir.

(Burada alternatif olarak $ax \in IJ$ ve $xb\in IJ$ olarak ayrı ayrı düşünülüp, $IJ$ ideal olduğundan bu ikisinin toplamı olan $ax+xb=x\in IJ$ dir de denilebilirdi!)

O halde $I+J=R$ iken gerçekten $IJ=I \cap J$ dir.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.